2020_2021学年新教材高考数学第八章立体几何3考点2两异面直线所成的角1练习含解析选修2

考点2 两异面直线所成的角（2018·天津卷（文））如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB＝2，AD＝2，∠BAD＝90°.（1）求证：AD⊥

考点2 两异面直线所成的角 ABCDABCABCABDMAB （2018·天津卷（文））如图，在四面体中，△是等边三角形，平面⊥平面，点为棱 ABADBAD 的中点，＝2，＝2，∠＝90°. ADBC （1）求证：⊥； BCMD （2）求异面直线与所成角的余弦值； CDABD （3）求直线与平面所成角的正弦值． ABCABDABCABDABADABADABDAD 【解析】（1）证明 由平面⊥平面，平面∩平面＝，⊥，⊂平面，可得⊥ ABCADBC． 平面，故⊥ ACNMNND． （2）如图，取棱的中点，连接， MABMNBC． 因为为棱的中点，所以∥ DMNBCMD 所以∠（或其补角）为异面直线与所成的角． DAMAMDM 在Rt△中，＝1，故＝＝. ADABCADAC． 因为⊥平面，所以⊥ DANANDN 在Rt△中，＝1，故＝＝. DMNMN 在等腰三角形中，＝1， DMN 可得cos∠＝＝. BCMD 所以异面直线与所成角的余弦值为. CMABCMABCMABCM （3）如图，连接.因为△为等边三角形，为边的中点，所以⊥，＝. ABCABDABCABDAB 又因为平面⊥平面，平面∩平面＝， CMABCCMABD 而⊂平面，故⊥平面， CDMCDABD 所以∠为直线与平面所成的角． CADCD 在Rt△中，＝＝4. CMDCDM 在Rt△中，sin∠＝＝. CDABD 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【答案】见解析 1