新人教A版必修1高中数学2.1.2 指数函数及其性质的应用素材

2.1.2指数函数及其性质课外拓展复合函数的概念及其性质一、复合函数的概念函数y=f（u)的定义域为集合B，函数u=g（x)的定义域为集合A，值域为集合D.如果D⊆B，那么对于A中每个x值，通过中间变

2.1.2指数函数及其性质 课外拓展 复合函数的概念及其性质 一、复合函数的概念 yfuBugxADDB 函数=（)的定义域为集合，函数=（)的定义域为集合，值域为集合.如果⊆， Axuyyx 那么对于中每个值，通过中间变量，都有唯一的值与之对应.这样，是的函数， yfgxyfuugx 记作=（（)).这个函数是由=（)，=（)复合而成的函数，我们把它叫做复合函 yfuugx 数，其中=（)叫做外层函数，=（)叫做内层函数. +xx 例如，函数是由函数，2+1复合而成的.其中，是外层函数，+2+1是内层函数. yfgxyfuugx 注意：1.复合函数=（（))的第二种表示法是=（)，=（)； yfgxyfuugxx 2.复合函数=（（))的定义域是使=（)和=（)同时都有意义的值组成的集合； yfgxyfu 3.在复合函数=（（))中，外层函数的定义域就是内层函数的值域,因为外层函数=（) uyfuugx 中的取值不仅要使=（)有意义，而且必须是内层函数=（)的函数值. 二、复合函数的定义域 fxyfx 例1已知函数（)的定义域为（1，2］，求函数=（+1)的定义域. 分析：由已知函数的定义域，求复合函数的定义域，只需将所求式中括号内的式子看成已知 x 式中的，再解不等式，求其定义域. xx 解：由1<+1≤2，得0<≤1. yfxxx 所以函数=（+1)的定义域是{|0<≤1}. yfxfx 例2已知函数=（1-)的定义域为（1，2］，求函数（)的定义域. x 分析：由复合函数的定义域求原来函数的定义域，只要根据的范围确定复合函数中间变量 的范围即可. uxxxxu 解：设=1-，则由1<≤2，得-2≤-<-1，-1≤1-<0，即-1≤<0， fx 所以函数（)的定义域是［-1，0). 三、确定复合函数的值域 yfgxugx 求解复合函数=（（))的值域，首先要在函数的定义域上求出函数=（)的值域，以 yfxyfx 确定函数=（)的定义域，再求出函数=（)的值域（对于两重以上的复合函数仍按此 法依次进行). 例3求函数的值域. x 解：设-2，则， -1≥-1， 所以=， 所以函数的值域是. 四、复合函数的单调性 ugxMyfuNxMgxN 设函数=（)在区间上有定义，又函数=（)在区间上有定义，且∈，（)∈. ugxMyfuNyfgx 1.若函数=（)在区间上是增函数，函数=（)在区间上是增函数，则=（（)) M 在区间上是增函数； ugxMyfuNyfgx 2.若函数=（)在区间上是增函数，函数=（)在区间上是减函数，则=（（)) M 在区间上是减函数； ugxMyfuNyfgx 3.若函数=（)在区间上是减函数，函数=（)在区间上是增函数，则=（（)) M 在区间上是减函数； ugxMyfuNyfgx 4.若函数=（)在区间上是减函数，函数=（)在区间上是减函数，则=（（)) M 在区间上是增函数.