一道不等式证明问题的感想

一道不等式证明问题的感想 　　 　　不等式的证明对高中学生来讲是难点，因为不等量关系比等量关系难以理解更不好利用，再加上不等量变形的技巧妙趣无穷，下面这道不等式的证明将给你一种全新的感觉。 　　 　　

一道不等式证明问题的感想 不等式的证明对高中学生来讲是难点，因为不等量关系比等 量关系难以理解更不好利用，再加上不等量变形的技巧妙趣无穷，下 面这道不等式的证明将给你一种全新的感觉。 例题：设a∈R，函数f(x)=ax2+x―a(―1≤x≤1)，若 |a|≤1，证明：|f(x)|≤5/4。 一、 构造意识为主线，合理放缩是关键。分析：最大值是 5/4，构造二次函数达到目标是比较理想的结果，只是条 件;|x|≤1,∣a∣≤1不好利用，只有巧妙的放缩才能完成二次函数的 构造。 证明一： |x|≤1,|a|≤1.|f(x)|=|a(x2―1)+x|≤|a(x2―1)|+|x|=|a||x2―1|+ |x|≤|x2―1|+|x|=|1― x2|+|x|=1―(|x|)2+|x|=―(|x|―1/2)2+5/4≤5/4 二、 标准模型为目标，合理换元是高招。分析：要证 |f(x)|≤5/4 ，只需证 ―5/4≤f(x)≤5/4。这是常规的思路，寻此思 路再附以恰当的换元不难找到证明方法。 证明二：∵|a|≤1，|x|≤1， 可设 x= sinα， a=cosβ ，α，β∈R 则f(x)= cosβsin2α+ sinα―cosβ=cosβ(sin2α―1)+ sinα ∵―1≤ cosβ≤1， ―1≤sin2α―1≤0 ∴sin2α+sinα―1≤f(x)≤―sin2α+sinα+1，