波利亚解题实例

用波利亚的解题方法解题在△ABC中，所对的边分别是，且为内切圆上的动点.求点到顶点的距离的平方和的最小值与最大值。　 【分析】：第一步：理解题意。　 本题的条件是(i)c=10,(ii) (ii

用波利亚的解题方法解题 在△ABC中，所对的边分别是，且为 内切圆上的动点.求点到顶点的距离的平方和的最小值与最大值。 【分析】： 第一步：理解题意。 本题的条件是(i)c=10,(ii)(iii)P是内切圆上的动点， 所求的结论是要求出P点到A，B，C三顶点的距离的平方和的最值。 由此可得，这是一道关于图形的最值问题。 第二步：拟订计划． 设想以前未曾遇到过这个问题，但曾见过也解过与此密切相关的两类问题： 第一，已知三角形某些边角之间的数量关系，要求判断这三角形的形状或解 出它。 第二，在一确定的三角形中的某曲线上有一动点，求这点到三角形顶点或三 边的距离和平方和的最小值。 于是原问题可分列为两个较为简单的问题： ① a，b，c为的三边，且c=10，，试确定△ABC的形 状及其大小。 222 ② 确定的的内切圆上有一动点P，试求PA+PB+PC的最小值与最大 值。 对①小题，已具备了三个条件式，这类问题据以前的经验，只要对数 式进行适当的推算，三角形不难解出来．对于②小题，在确定了三角形的形状大 小以后，因涉及内切圆上一个动点，拟引入直角坐标系，即能利用解析法列出目 标函数，其最值也可用一般的代数三角方法顺利求出。至此，一个比较完整的解 题计划可以说是拟定了。 第三步：实现计划： 由用正弦定理做代换，得 即或，