拓扑空间之间映射对主要拓扑性质保持性

拓扑空间之间的映射对主要拓扑性质的保持性摘 要拓扑学是近代发展起来的一个数学分支，于19世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在

拓扑空间之间的映射对主要拓扑性质的保持性 摘要 19 ， 于世纪中期由科学家引入当时主 拓扑学是近代发展起来的一个数学分支， ， 要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题发展至今拓扑学主要研 。 究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量 近年来，拓扑学思想愈来愈渗入到 物理学、化学和生物学领域中，愈来愈显示出它的重要地位。在一般拓扑学中，拓扑空 间的连通性、可数性、分离性、可度量化、紧性等是整个学科的主要内容，拓扑空间在 一些重要映射作用之后是否保持原有性质在拓扑学研究中具有很重要的理论意义和价 值。本论文从最基本的拓扑性质出发，讨论各种映射（连续映射，开映射，闭映射，商 映射，同胚映射或几种映射复合）对主要拓扑性质是否保持，保持的给出了证明，不保 持的给出了反例。首先，论文中所涉及的拓扑性质都是拓扑不变性质；其次，在连续映 Lindeloff 射下保持的性质有连通性、道路连通性、可分、、紧致、可数紧致、序列紧致， 从而它们也都是可商性质，不保持的性质有局部连通性、第一可数性、第二可数性、分 离性、可度量化、仿紧致；然后，除了前面所说的可商性质外，还有局部连通性是可商 性质，而第一可数性、第二可数性、有关分离性、可度量化、仿紧致都不是可商性质； 最后，在开映射和闭映射下，这些拓扑性质都未必能保持，而对于那些在连续映射下也 不保持的性质，通过进一步加强映射，发现在连续开映射下保持的有局部连通性、正规 和正则，在连续闭映射下保持的有局部连通性、、、和正规。 关键词 连通性 可数性 分离性 紧性 映射 ToPreservetheTopologicalPropertiesbyMappingsbetween TwoTopographicalSpaces ABSTRACT Topology, as abranch of mathematics, was introduced by mathematicians in the middle of the nineteenth century and developed in recent years. Its main purpose is to study some geometric problems originated from mathematical analysis. Invariants and invariant properties of atopological space under topological transformations are the main objects of study. In recent years, Topology becomes more and more important, as its ideas gradually infiltrated into the field of physics, chemistry and biology. In General Topology, connectivity, countability, Axioms of separation, metrizability, and compactness of atopological space are the main contents of the subject. Whether