(完整word版)趣味数学134：连续自然数立方和公式探源

连续自然数立方和公式探源前面，在“有趣的图形数”和“求连续自然数立方和的公式”两篇文章中，曾经两次推导过求连续自然数立方和的公式：13＋23＋33＋…＋n3＝[n(n＋1)/2]2一次用的是“图形法”

连续自然数立方和公式探源 前面，在“有趣的图形数”和“求连续自然数立方和的公式”两篇文章中， 曾经两次推导过求连续自然数立方和的公式： 33332 1＋2＋3＋…＋n＝[n(n＋1)/2] 一次用的是“图形法”，一次用的是“列表法”。其实，早在公元100年前 后，毕达哥拉斯学派的继承人尼科马霍斯，在他的著作《算术入门》中就曾经 用非常简单的方法推导过这个公式。 现在，让我们按照他的思路，重复一下这个公式的推导过程。 过程大体上是这样的： 首先，从奇数列的一个性质入手。 奇数列1，3，5，7，9，11，13，…有一个性质，很容易验证： 3 1＝1 3 3＋5＝2 3 7＋9＋11＝3 3 13＋15＋17＋19＝4 3 21＋23＋25＋27＋29＝5 …… 请你自上而下仔细观察这一系列等式的左端： 第1个等式左端，结束于第1个奇数； 第2个等式左端，结束于第3个奇数； 第3个等式左端，结束于第6个奇数； 第4个等式左端，结束于第10个奇数； 第5个等式左端，结束于第15个奇数； …… 结果发现，这些奇数的序数1，3，6，10，15，…原来是“三角形数”， 它的每一项等于从1开始的连续自然数的和。第1项是1，第2项是1＋2＝3， 第3项是1＋2＋3＝6，第4项是1＋2＋3＋4＝10，第5项是1＋2＋3＋4＋5 ＝15，……第n项是1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)/2。即，第n个等式左端，结 束于第n(n＋1)/2个奇数。 然后，对上面这一系列等式的左右两端，分别求和：