第七章定积分及其应用

第七章 定积分及其应用积分学的基本任务是要解决两类问题：第一是求原函数问题，由此引出不定积分的概念；第二是求和式的极限问题，由此引出定积分的概念及其应用。第一个问题在上一章中已经讨论过了，本章讨论和

第七章定积分及其应用 积分学的基本任务是要解决两类问题：第一是求原函数问题，由此引出不定积分的概念；第二是求和式的极限 问题，由此引出定积分的概念及其应用。第一个问题在上一章中已经讨论过了，本章讨论和要解决的将是第二个问题。 应该注意到定积分作为一类和式的极限，以乘积的和式给出近似结果，极限过程改善了近似的程度，而 极限是给所要测度的量的精确定义，故以这种形式的数量关系就导出了定积分这个概念。定积分是由于解决实际问题 的需要而产生并发展的，很多问题是在积分过程中才得到了所需要的精确数学表述。 基本内容：基本概念： 定积分概念；定积分的元素法。 基本运算 —— ：计算定积分的值（牛顿莱布尼兹公式、换元、分部积分法等）； 基本理论 —— ：原函数存在定理、定积分存在定理、牛顿莱布尼兹公式。 具体应用 ：为使学会掌握用定积分解决具体问题这一工具，广泛地介绍了定积分的应用，如求面积、体积、 旋转体的侧面积、物理学和力学上的应用，以满足各个专业的不同需要。 本章重点 ：定积分的概念；定积分的中值定理；定积分作为变上限的函数及其求导定理；牛顿－莱布尼兹公式。 课标导航 1 ．掌握定积分的定义、直观背景及其简单性质； 2—— ．掌握定积分与不定积分的关系，并会用牛顿莱布尼兹公式计算定积分； 3 ．必须学会正确使用定积分的换元积分法和分部积分法,熟练地解决定积分的计算问题； 4 ．会求一些常见平面曲线图形的面积（直角坐标、极坐标）； 5 ．会求简单的已知平行截面的立体和旋转体的体积； 6 ．初步掌握微元法，学会运用积分元素法建立积分表达式，解决有关的具体问题。 一、知识梳理与链接 （一）基本概念 1．积分和数(或和式) 设函数在区间上连续。任意用分点把区间分割成个子区间 .. ，其长度分别为在每个子区间上任意取一点则和数 就是函数在上的积分和数。注意对给定的函数施行各种结构的数学运算，都可以构造出 各种形式的和数。 2．定积分的定义 若最大小区间的长度趋于零时，概念1中的积分和式的极限存在，则此极限值就称为函数 . 在区间上的定积分，记作 3 ．关于定积分定义的说明 （1）由于区间的分割及点的选取都有无穷多种方法，所以和式是个变量，它的取值组成一个无穷集合。而 () 积分和式的极限存在，是指不论对区间怎样的分割，也不论对点怎样的取法，极限 都存在且有相同的极限。即函数在区间上的定积分与区间的分割无关；与每个小区间上的点选取无关。 2 （）因定积分是函数在区间上的和式的极限，故定积分仅与被积函数及积分区间有关。 3 （）如果不改变被积函数与积分区间，定积分是一个确定的常数。这个数只由被积函数和积分区 间所决定，与积分变量字母的记号无关，而只把积分变量字母记号改写成其它字母，则定积分的值不变。即