各种圆定理总结

费尔__定理费尔__定理 三角形的九点圆与内切圆内切，而与旁切圆外切。此定理由德国数学家费尔__（K·W·Feuerbach，1800—1834）于18___提出。费尔__定理的证明在不等边△ABC中

费尔__定理 __ 费尔定理 九点圆 三角形的与内切圆内切，而与旁切圆外切。 __K·W·Feuerbach1800—183418___ 此定理由德国数学家费尔（，）于提出。 __ 费尔定理的证明 ABC,O,H,I,Q,IaABC 在不等边△中设分别表示△的外心，垂心，内心，九点圆心和 A.s,R,r,raABCA ∠所对的旁切圆圆心分别表示△的半周长，外接圆半径，内切圆半径和∠ ,BC=a,CA=b,AB=c. 所对的旁切圆半径 HAO=|B-C|,HAI=OAI=|B-C|/2; 易得∠∠∠ AH=2R*cosA,AO=R,AI=√[(s-a)bc/s],AIa=√[__c/(s-a)] AHI: 在△中，由余弦定理可求得 HI^2=4R^2+4Rr+3r^2-s^2; AHO: 在△中，由余弦定理可求得 HO^2=9R^2+8Rr+2r^2-2s^2; AIO: 在△中，由余弦定理可求得 OI^2=R(R-2r). HO, ∵九点圆心在线段的中点 HIO. ∴在△中，由中线公式可求得 4IQ^2=2(4R^2+4Rr+3r^2-s^2)+ 2(R^2-2Rr)-(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2) =(R-2r)^2 IQ=(R-2r)/2. 故 ABCR/2, 又△的九点圆半径为 所以九点圆与内切圆的圆心距为 d=R/2-r=(R-2r)/2=IQ. 因此三角形的九点圆与内切圆内切。 AHIa: 在△中，由余弦定理可求得 IaH^2=4R^2+4Rr+r^2-s^2+2(ra)^2; AOIa: 在△中，由余弦定理可求得 IaO^2=R(R+2ra). HIaO. 在△中，由中线公式可求得 4IaQ^2=2(4R^2+4Rr+r^2-s^2+2ra^2)+2(R^2+2Rra)-(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2)=(R+2ra) ^2 IaQ=(R+2ra)/2. 故 A 九点圆与∠的旁切圆的圆心距为 d=R/2+ra=(R+2ra)/2=IaQ. A 故三角形的九点圆与∠的旁切圆外切。