2019-2020年高中数学北师大版选修2-2第2章 拓展资料：导数的创新应用

2019-2020年高中数学北师大版选修2-2第2章 拓展资料：导数的创新应用有好多数学问题，利用函数导数求解，可以使得有些数学问题得到简化．下面选解几例．一、求数列的n项和 例1 已知x

2019-2020年高中数学北师大版选修2-2第2章 拓展资料：导数的 创新应用 有好多数学问题，利用函数导数求解，可以使得有些数学问题得到简化．下面选解 几例． n 一、求数列的项和 1 例 x≠0x≠112x3x…nx…n 已知，－，求数列，，，，，的前项和． 分析： 1+ x+ x+ x+ …+ x= 根据题特点，可构造等式，求导即可． 解 x≠0x≠11 +x +x+ x+ …+ x=x ：当，－时，，两边都是关于的函 数，求导得： 1+ 2x +3x+ …+ nx== ． 评注 () ：这样的问题可以通过错位相加减求和，但运用导数运算更加简明． 二、求组合数的和 2 例 C+ 2C+ 3C+ …+ nC 求和：． 分析： (1 +x)= 1+ Cx +Cx+ Cx+ …+ Cx 根据题特点，可构造等式， 求导即可． 解 ：由二项展开式，得：两边求导，得： n(1 +x)= C+ 2Cx +3Cx+ …+ nCx ． x= 1C+ 2C+ 3C+ …+ nC= n·2 令上式，得：． 评注 ：：利用组合数的性质或构造概率模型都可以求解，但运算量都比求导 麻烦． 三、证明不等式 3 例 证明：． 分析： 构造函数，求导，再用单调性即可解决． 证明： 构造，则．