高二竞赛讲义多项式的运算与整除

高二数学竞赛班二试讲义第1讲 多项式的运算与整除班级 姓名 一、知识点金1．设是非负整数，表达式，其中（可以是复数集，实数集，有理数集，整数集），称作

高二数学竞赛班二试讲义 1 第讲多项式的运算与整除 班级姓名 一、知识点金 1 ．设是非负整数，表达式，其中（可以是复数集 ，实数集，有理数集，整数集），称作系数为的一元多项式。这样的一元多项 式的集合记作。 为次项的系数，若，则为多项式的首项，为首项系数，为多项式的次数， 记作。若与中同次项的系数相等，则。 2 ．中的多项式可作加、减、乘运算。设，，则 带余除法： 3 ．设，且，则存在中多项式与，使 得，其中或者为零，或者；并且商式和余 式由这些条件唯一确定。 带余除法可求得 4 ．仿照数论中的的最大公因式，记作 。存在，使得 5 ．当时，则称与互素。 裴蜀等式： 若与互素，则存在，使得。 6 ．设，且不能分解为上两个正次数多项式的积，则称是中 不可约多项式，或在上不可约；否则称在上可约。 唯一分解定理： 7 ．中任一个正次数的多项式可分解为中有限个首项系数为 1 的不可约多项式与中常数之积。 8 ．若两个多项式与的同次幂的系数均关于模同余，则称和对模 同余，或模恒等，记作。 9 ．设是一个素数，，则有 证明：因为是一个素数，由费尔马小定理，有，则， 又，所以，又，所以。 设