数列求和初探

【标题】数列求和初探 【作者】陈淘健 【关键词】数列 数列求和 数列求和公式 【指导老师】杨红 【专业】数学与应用数学 【正文】 1.引言 数列是高中数学的一个重点和难点之一,许多同学在学习数列时总是

【标题】数列求和初探【作者】陈淘健【关键词】数列数列求和数列求和公式【指 1. 导老师】杨红【专业】数学与应用数学【正文】引言数列是高中数学的一个 ,, 重点和难点之一许多同学在学习数列时总是感到一筹莫展他不仅和中学的函数联 , 系在一起而且和高等数学的离散数学和数学分析也有密切的联系。通过这篇文章 ,, , 我想培养学生将等差数列等比数列的知识灵活运用培养和提高学生观察问题分 ," ","" 析问题解决问题的能力。在高中课本中只介绍了公式法求和错位相减法求和。 "",, '', , 但是对反序相加法求和合并法求和数列的通项分析法求和分部求和组合化 ,, 2. 归法求和递推法求和等方法介绍少之又少。因此我通过本文谈一谈我的想法。 , 利用常用求和公式求和公式法书本中写得非常详细我相信大部分人都已理解和 ???, , 掌了这里就简单一点介绍下公式下列就是常用求和公式求和是数列求和的最 .1. :2.: 3. 4. 5. 基本最重要的方法等差数列求和公式等比数列求和公式基本求 , 和公式是比较容易理解的但是在运用上面许多同学就有点无能为力了。为了给大 12.1 1. ,n .: 家一个清楚明了的理解公式法请看下面例。例已知求的前项和解由 ,+ ... == =1- 由等比数列求和公式得这是我们学习中的最简单的数列求和公 ,3. n 式在这里我就不多说明了。错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前 ,{an? bn}n ,{ an 项和公式时所用的方法这种方法主要用于求数列的前项和其中 }{ bn }. , 、分别是等差数列和等比数列这种方法在同学解题过程中是比较常用的 ,, 在我讲解等比数列求和时我们就是用这种方法推出的等比数列求和公式为了让大 23 3.1 2. 家进一步掌握这种方法请看下例和例他将介绍该方法的解题思路。例 :① :,{ }{2n-1}{ } 求和解由题可知的通项是等差数列的通项与等比数列的通项之 ,. ②() ①-② () : 积当当设设制错位得错位相减再利用等比数列的求和公式得 ∴3.2 3. ,a,a ,, 例已知数列是首项为公比也为的等比数列令求数列的前项和。 :①-②: ,, , 解析得。在这个方法里面设数列的等比数列数列是等差数列则数列的 ,4. n 前项和求解均可用错位相减法。反序相加法求和这是推导等差数列的前项 ,( ),, 和公式时所用的方法就是将一个数列倒过来排列反序再把它与原数列相加就可 n., 45 6 以得到个这也是比较常用的一种方法其具体怎么用请看例和例而例 ?? 4.1 4. :. ①① 是数与不等式和数列相结合的例题。例求的值解设将式右边反 ..② () ①+② () =89 ∴S=44.5 4.2 5. 序得反序又因为得反序相加例设数列是 ,,: ::: 公差为且首项为的等差数列求和解因为分析此类问题还可变换为探索题形 ,n 4.3 6. 已知数列的前项和是否存在等差数列使得对一切自然数都成立。例 ,, ,. (Ⅰ): 已知函数点是函数图像上的两个点且线段的中点的横坐标为求证 ;(Ⅱ) ,m ;: 点的纵坐标是定值若数列的通项公式为求数列的前项的和分析这 .(Ⅰ),; (Ⅱ), 是一道函数、数列、不等式的综合问题对于直接验证即可对于观察的构 :, (Ⅰ)(Ⅱ);(Ⅲ),(Ⅱ), " 成可知的结论又为作了铺垫对于则应在的基础上充分利用恒成 ",.,, 立结合函数、不等式的知识去解决总之本题层层递进每一小题均为后一小题的 ,,(Ⅰ), .(Ⅰ): ,, 基础因此从开始认真走好每一步是解决好本题的关键由题可知所以 ,. (Ⅱ)(Ⅰ): ,. , 点的纵坐标是定值问题得证由可知对任意自然数恒成立由于故可 .: ,, 5. , 考虑利用倒写求和的方法即由于所以所以分组法求和有一类数列既不是 ,,, 等差数列也不是等比数列若将这类数列适当拆开可分为几个等差、等比或常见的 ,,. , 数列然后分别求和再将其合并即可在解决这类题目时需要一定的技巧性在分组 ,, 的时候一定分组后能求和不能越分越麻烦。下面例题就介绍了这样去分组和分组