凸函数及其应用

凸函数及其应用王晓燕 (河南省永城市实验高中 476600) 摘 要 本文对凸函数的有关定理给出了与现今一些高等数学教科书不同而又简捷的证明方法～根据凸函数有关定理中的公式研究推导出若干重要不等式～并

凸函数及其应用 王晓燕 (河南省永城市实验高中476600) 摘要本文对凸函数的有关定理给出了与现今一些高等数学教科书不同而又简 捷的证明方法～根据凸函数有关定理中的公式研究推导出若干重要不等式～并进一 步应用于证明不等式和求条件极值问题～简化了证题、解题的过程。 关键词凸函数,不等式,条件极值 在任何一本高等数学教科书中,都介绍凸函数，这主要是为函数作图服务,而对 凸函数与不等式联系的讨论很少.本文结合教学实际,对凸函数的有关定理给出了不 同于一般高等数学教材的简捷证明方法,由所证定理推导出若干重要不等式,并将证 得的重要不等式用于证明不等式和求条件极值问题. ?凸函数的定义及有关定理 [1]f,,,,xxI,,0,1,定义设为区间上的函数.如果,总有I，，12 fxxfxfx,,,,，,,，,11，，，，，，，，，，1212 f则称在上为下凸函数.I f如果上述不等式中“”改为“,”,则称在I上为严格下凸函数., ,,,,xxI,,0,1,如果，总有，，12 fxxfxfx,,,,，,,，,11，，，，，，，，，，1212 f则称在I上为上凸函数. f如果上述不等式中“”改为“,”,则称在I上为严格上凸函数., ff定理1设为区间I上的二阶可导函数，则在I上为下凸(或上凸)函数 ,,,,fx,0fx,0xI,.的充要条件是(或),，，，， (《数学分析》教材已证，这里从略.)