例谈数学学习的五个层次

例谈数学学习的五个层次常听一些学生和家长说：对于高中数学，学生课堂上都能听懂，但一说做题，或是遇到有点难度的题目，就头脑发蒙，不知如何下手。其实，说这些话的学生只处于数学学习的最初层次——懂，而我们知

例谈数学学习的五个层次 常听一些学生和家长说：对于高中数学，学生课堂上都能听懂，但一说做题，或是遇到 有点难度的题目，就头脑发蒙，不知如何下手。其实，说这些话的学生只处于数学学习的最 —— 初层次懂，而我们知道要想学好数学必须做到：懂，知，会，悟，通这五个层次。以下 —— 我就通过复习高中数学中一类重要问题求函数值域来例说这五个层次。 例题：求函数的值域。 1 分析：注意到这个函数存在反函数，想到利用反函数的定义域求出原函数的值域。 1 解法：（反函数法）由 ∴ 此函数的值域是 2 分析：注意到该函数是个分式函数，且分子、分母都是一次形式，因此可以分离常数。 2∵ 解法：（分离常数法）且 ∴ y≠1 故此函数的值域是。 变形：求下列函数的值域。 ①② x1 、、（＞或－2＜x＜0） ③、 ④、 ⑤、 ① 对于这个问题，只能做出的同学，说明他们对上面例题的学习只是达到了第一个层次： 懂。即听懂，也就是能知道、了解老师讲的做法。他们只是在照猫画虎，只知道这个函数也 是分式，分子、分母也是一次式，根本不知上述两种解法中的特性。 ①② 对于只做出了、，而不会做后3个的同学，他们对于这个例题的学习也只达到了第 二个层次：知。即知觉，反映客观事物的整体形象和表面联系的心理过程。他们不仅知道上 1yx 述题目的特性，而且抓住了解法中的特性，如解法中既然可以用表示出，那么根据题 xy2y 中的范围就可建立关于的不等式，进而求出值域；又如解法，分离常数后可看到的 x 范围实质取决于的范围，那么仍然可利用分离常数法，根据的范围求出的范 围，进而求出值域。 对于前三个都解出，但后两个不会的同学，他们的学习则达到了第三个层次：会。表示 懂得怎样做或有能力做。他们不仅领会了题目和解法中的特性，而且能抓住他们的实质进行 较深层次的分析，发现③中的sinx可以看成前面问题中的x，而sinx是有界函数，进而想 到用y表示出sinx，利用sinx的有界性得到解答。 对于前四个都能解出，但最后一个不会的同学，他们的学习则达到了一个较高的层次：