高中数学 5.4 几个著名的不等式 5.4.1 柯西不等式知识导航学案 苏教版选修45

5.4.1 柯西不等式自主整理柯西不等式(1)代数形式:设a、b、c、d均为实数,则_______________,当且仅当ad=bc时取“=”.(2)向量形式:设α、β为平面上的两个向量,则___

5.4.1 柯西不等式 自主整理 柯西不等式 (1)代数形式:设a、b、c、d均为实数,则_______________,当且仅当ad=bc时取“=”. αβ (2)向量形式:设、为平面上的两个向量,则_______,当且仅当两个向量方向相同或相反 时取“=”. (3)三角形不等式:设x、y、x、y、x、y为任意实数,则 112233 ≥________________. αβγαββγ 向量表示:设、、为平面上的向量,则____________,当且仅当向量-与-同向 时取“=”. (4)一般形式:设n为大于1的自然数,a、b(i=1,2,…,n)为任意实数,则______________. ii 当且仅当时取“=”(当a=0时,约定b=0,i=1,2,…,n). ii (5)在n个实数a,a,…,a和为定值S时,它们的平方和不小于,当且仅当a=a=…=a 12n12n 时,平方和取最小值. 高手笔记 1.柯西不等式可由基本不等式推证,其形式比较整齐、优美. 因用到的字母较多,不易记忆,可联想其几何意义(即向量形式)就比较好理解了,由 αβαβαβ ·=｜｜｜｜cosα≤｜｜·｜｜,所以只需记住向量数量积定义即可. 2.记忆三角形不等式时只需记住三角形中两边之和大于第三边及平面内两点间的距离公式 即可写出,注意联想记忆. 3.柯西不等式的几种形式间是等价的,但要注意结构形式的变化对数值的要求,对“=”取到 的条件要从推导过程中来理解. 名师解惑 对柯西不等式的理解 剖析: 柯西不等式的几种形式,都涉及对不等式的理解与记忆,因此,柯西不等式可以理解为 四个有顺序的数对应的一种不等关系或构造的一个不等式,如基本不等式是由两个数来构造 22222 的(a+b)(1+1)≥(a+b),但怎样构造要仔细体 2222222222 会,(a+b)(c+d)≥(ac+bd),(a+b)(d+c)≥(ad+bc),谁与谁组合联系,要根据需要.柯西 22222 不等式取“=”的条件,可以多方面联系来记忆,如(a+b)(c+d)≥(ac+bd),取“=”的条件 是“ad=bc”,有点像a、b、c、d成等比数列时ad=bc的结论.柯西不等式的向量形式 αβαββ0αβ 中,·≤｜｜·｜｜取“=”的条件是=或存在实数k,使=k,我们可以从向量 的数量积的角度来理解记忆. 讲练互动 1