四川大学常微分方程(张伟年著)高等教育出版社课后答案

2.1在方程(2.1.1)中如果没冇假设g(y)MO・讨论怎样用分离变呈法來求解微分方程.解：我们分F面两种悄形来讨论方程(2.1.1)的解.如果g(yo) = 0.则弓=迥显然是方程(2.1.1)

1 2.1 1. (2.1.1)g(y)MO ・ 在方程中如果没冇假设讨论怎样用分离变呈法來求解微分方程. F(2.1.1)g(yo)=0.(2.1.1) 解：我们分面两种悄形来讨论方程的解.如果则弓=迥显然是方程的解•如果 yo g3/o)M9=(a,b)(=0=(2.1.1) (()) ・ 设卩(=)在区间上是满足初始条件卩的方程的解•则 =h(x)g(^(x)),dx Va<x<6 心 ) ・ y 丰=呎 («,6)g@(ar))0.0€(a,6)>g0)=0, ) 山解的唯性可知'在区间上均有事实匕假设有丘使得(卩(丘則 x)= o)(2.1.1)0(x@o))(2.1.1) 朋(常函数)是方程的解.从而，函数?都是过点卩的方程的解•由解的唯一性, 0> (io). 卩三妙三卩故 g(s/o)=g(=o))=g(*o))= () ・ (卩 丰 g3/0M0g@(a))0 () 这与假设矛盾.由可得. ]•如(巧_. h( g@(=))~ xe(a.b) 故当时. r 令=卩⑴，则 <p(=) y= 故是满足 的隐函数解. yy= =如 <r(x)(21) 反之，若是由上式所确定的隐函数,则是过(列皿)的方程丄的解.事实上，由上 a<x<h 式知.当时， 两边关丁工求导，得到 dr h(t)dt. 1M y =0(a)(2.1.1) 所以是方程的解.