物理小组赛前集训复赛模拟试卷四

物理小组赛前集训复赛模拟试卷（四） 1．试用物理方法讨论以下两个数学问题．（1）试用力学方法求解光滑曲线的曲率半径．（a）在平面直角坐标系中，双曲线方程可表示为 EQ \f(x2,A2) － EQ

物理小组赛前集训 复赛模拟试卷（四） 1 ．试用物理方法讨论以下两个数学问题． 1 （）试用力学方法求解光滑曲线的曲率半径． x2A2y2B2 x a=1 （）在平面直角坐标系中，双曲线方程可表示为－．此双曲线与轴的交点 称为顶点．试利用小行星绕太阳运动可能采取的双曲线轨道，计算双曲线顶点处的曲率半径 ρAB ，结果用和表示． rhρ b （）旋转半径为、螺距为的等距螺旋线，曲率半径处处相同．试用质点运动学 ρ 方法求解值． ρ1ρ2 1 1 PPσ 2=( + ) （）光滑弯曲液面上任意某点内、外压强差的拉普拉斯公式为－， 内外 σρρ 其中为液体表面张力系数，和为曲面上该点任意一对正交正截面两截线的曲率半径．由 12 PP 于和的值与一对正交正截面的选取无关，拉普拉斯公式的数学前提是，在光滑曲面 内外 QQ 上每一位置点处任意一对正交正截面两截线的曲率半径的倒数之和只是点位置的函数， 而与这一对正交正截面的选取无关． QQ 取一个圆柱面，在面上任选一点，试自行设计一对通过点的正交正截面，并用物 Q 理方法验证这两对正截面各自对应的两条截线在点的曲率半径倒数之和相同． 2 ．类比是物理学的重要研究方法之一，对物理学的发展起过积极的促进作用． 1697J 早在年，·伯努利在研究均匀重力场中最快下降路线时，想起了光在行进中所采 取的路线是经历时间最短的路线（费马原理），他发现这两个问题在数学上是相似的．于是， 伯努利把待求的重力场中的最快下降路线与光在折射率沿某方向连续变化介质中所采取的 行进路线相类比，后者运用光的折射定律容易求解，从而前者也被求解． J 现在请遵循·伯努利的类比方法，试求解简单情形的重力场中最快下降路线问题． g 如所示，在均匀重力场中，在竖直平面建立水平向右 图 O x xygyP 的轴和竖直向下的轴（沿轴）．在此平面内任取 g xayb =0=0 点，其坐标为＞，＞．试找出一条从坐标原 PP Pab (,) y