空间向量解立体几何题型与方法

用空间向量解立体几何题型与方法 平行垂直问题基础知识 auv labcαβabca 直线的方向向量为＝(，，)．平面，的法向量＝(，，)，＝(， 1113334 bc ，) 44 auau lαaabbcc (1)线面平行：∥⇔⊥⇔·＝0⇔＋＋＝0 131313 auau lαkakabkbckc (2)线面垂直：⊥⇔∥⇔＝⇔＝，＝，＝ 131313 uvuv αβkakabkbckc (3)面面平行：∥⇔∥⇔＝⇔＝，＝，＝ 343434 uvuv αβaabbcc (4)面面垂直：⊥⇔⊥⇔·＝0⇔＋＋＝0 343434 PABCDPAABCDEFPC 例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥­中，⊥底面，，分别是， PDPAABBC 的中点，＝＝1，＝2. EFPAB (1)求证：∥平面； PADPDC (2)求证：平面⊥平面. AABADAPxyz [证明] 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标 ABCDPE 系如图所示，则(0,0,0)，(1,0,0)，(1,2,0)，(0,2,0)，(0,0,1)，所以 F ，，＝\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12)，1，\f(12))\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(12)) ，＝(1,0，－1)，＝(0,2，－1)，＝(0,0,1)，\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12)，0，0) ＝(0,2,0)，＝(1,0,0)，＝(1,0,0)． 12 EFAB (1)因为＝－，所以∥，即∥. ABPABEFPABEFPAB 又⊂平面，⊄平面，所以∥平面. (2)因为·＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，·＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0， APDCADDC 所以⊥，⊥，即⊥，⊥. APADAAPPADADPADDCPADDC 又∩＝，⊂平面，⊂平面，所以⊥平面.因为⊂平面