2019-2020年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式同步配套教学案新人教A版选修4

2019-2020年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式同步配套教学案新人教A版选修4　　　　　　　　　　　　 　对应学生用书P291．二维形

2019-2020年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西 不等式同步配套教学案新人教A版选修4 对应学生用书P29 1．二维形式的柯西不等式 22222 abcdabcdacbdad (1)定理1：若，，，都是实数，则(＋)(＋)≥(＋)，当且仅当＝ bc 时，等号成立． (2)二维形式的柯西不等式的推论： 2 abcdacbdabcd (＋)(＋)≥(＋)(，，，为非负实数)； a2＋b2c2＋d2acbdabcd R ·≥|＋|(，，，∈)； a2＋b2c2＋d2acbdabcd R ·≥||＋||(，，，∈)． 2．柯西不等式的向量形式 αβα·βαββ 定理2：设，是两个向量，则||≤||·||，当且仅当是零向量，或存 αβ kk 在实数，使＝时，等号成立． αβαββ [注意]柯西不等式的向量形式中·≤||||，取等号“＝”的条件是＝0或 αβ kk 存在实数，使＝. 3．二维形式的三角不等式 1)＋y\o\al(21)2)＋y\o\al(22) x\o\al(2x\o\al(2xy (1)定理3：＋≥x1－x22＋y1－y22(，， 11 xy R ，∈)． 22 PPOPPO 当且仅当三点，与共线，并且，点在原点异侧时，等号成立． 1212 xxxyyy R (2)推论：对于任意的，，，，，∈，有 123123 x1－x32＋y1－y32＋x2－x32＋y2－y32 ≥x1－x22＋y1－y22. PPPxyxyx 事实上，在平面直角坐标系中，设点，，的坐标分别为(，)，(，)，(， 12311223 yPPPPPPPPPPPP )，根据△的边长关系有||＋||≥||，当且仅当三点，，共线，并 3123132312123 PPP 且点，在点的异侧时，等号成立． 123