函数的幂级数的展开与技巧

函数的幂级数的展开与技巧1引言 函数的幂级数展开在高等数学中有着重要的地位，在研究幂级数的展开之前我们务必先研究一下泰勒级数，因为泰勒级数在幂级数的展开中有着重要的地位。一般情况，我们用拉格朗日余项和

函数的幂级数的展开与技巧 1引言 函数的幂级数展开在高等数学中有着重要的地位，在研究幂级数的展开之 前我们务必先研究一下泰勒级数，因为泰勒级数在幂级数的展开中有着重要的 地 位。一般情况，我们用拉格朗日余项和柯西余项来讨论幂级数的展开，几乎不 用 积分型余项来讨论，今天我们的研究中就有着充分的体现。 2泰勒级数 f泰勒定理指出:若函数在点的某个邻域内存在直至阶的连续导数，则 xn0 2xx,，，0'' fxfxfxxxfx,，,，，，，，，，，，，，00002! nxx,，，0(n) ，(1) ，，，fxRx，，，，0n!n n，，，，ox,x这里=称为皮亚诺型余项。如果增加条件“有阶连续，，n， 1Rx，，fx0n 导数”，那么还可以写成三种形式 ，，Rxn 1n，1n，1，，Rxfxx,,,() (拉格朗日余项) ，，，，n0n，1!，， 1nn，1(1)n， (柯西余项) ,，,,,fxxxxx,,[()]1，，，，00n! x1(1)，nn ，(积分型余项) ,,ftxtdt，，，，,x0n! f如果在(1)中抹去余项，那么在附近可用(1)式中右边的多项式来近似代，， Rxxn0 替。 f如果函数在处有任意阶的导数，这时称形式为: x,x0