各类微分方程的解法

各类微分方程的解法1.可分离变量的微分方程解法一般形式:g(y)dy=f(x)dx直接解得∫g(y)dy=∫f(x)dx设g(y)及f(x)的原函数依次为G(y)及F(x),则G(y)=F(x)+C为

南京林业大学 各类微分方程的解法 1 . 可分离变量的微分方程解法 :g(y)dy=f(x)dx 一般形式 直接解得g(y)dy=f(x)dx ∫∫ g(y)f(x)G(y)F(x),G(y)=F(x)+C 设及的原函数依次为及则为微分方程的隐式通 解 2 . 齐次方程解法 :dy/dx=(y/x) 一般形式φ u=y/xy=xu,dy/dx=u+xdu/dx,u+xdu/dx= 令则所以φ(u),即du/［φ(u)-u］=dx/x 两端积分,得du/［φ(u)-u］=dx/x ∫∫ 最后用y/x代替u,便得所给齐次方程的通解 3 . 一阶线性微分方程解法 :dy/dx+P(x)y=Q(x) 一般形式 ∫∫ －P(x)dx－P(x)dx Q(x)=0dy/dx+P(x)y=0y=Cee 先令则解得再令y=u代入原 , 方程 ∫∫∫ P(x)dx－P(x)dxP(x)dx 解得u=Q(x) edx+C,所以y=e［Q(x)edx+C］ ∫∫ ∫∫∫ －P(x)dx－P(x)dxP(x)dx 即y=Ce+eQ(x)edx为一阶线性微分方程的通解 ∫ 4 . 可降阶的高阶微分方程解法 (n) ①y=f(x)型的微分方程 (n) y=f(x) (n-1) y= f(x)dx+C ∫ 1 (n-2) y= ［f(x)dx+C］dx+C ∫∫ 12 (n) 依次类推,接连积分n次,便得方程y=f(x)的含有n个任意常数的通解 ②y”=f(x,y’) 型的微分方程 令y’=p则y”=p’,所以p’=f(x,p),再求解得p=φ(x,C) 1 即dy/dx=φ(x,C),所以y=φ(x,C)dx+C ∫ 112 ③y”=f(y,y’) 型的微分方程 令y’=p则y”=pdp/dy,所以pdp/dy=f(y,p),再求解得p=φ(y,C) 1 即dy/dx=φ(y,C),即dy/φ(y,C)=dx,所以dy/φ(y,C)=x+C ∫ 1112 1