概率论和数学分析的联系及相互间的应用

概率论和数学分析的联系及相互间的应用胡鹏飞 01213039 （徐州师范大学数学系，徐州 221116）摘要 本文首先通过简述数学分析在概率论发展过程中对概率

概率论和数学分析的联系及相互间的应用 胡鹏飞01213039 （徐州师范大学数学系，徐州221116） 摘要 本文首先通过简述数学分析在概率论发展过程中对概率论的渗透与推动,反映了概率论与数学 分析的关系.接着又通过一些实例的解答,讨论了两门学科之间解题方法的相互应用,从另一方面反映概率 论与数学分析之间的联系.本文的重要结论是给出了求解形如的公式. 关键词 随机变量；分布函数；数学期望；大数定律. 一、概率论与数学分析的联系 众所周知，概率论的大厦是建筑在微积分的地基之上，而概率论的调色板，则始终是以 数学分析为底色的.但是作为微积分的一门后继课程，概率论并非按微积分中的思维方法发 展下去，而是另辟蹊径，其发展路径与微积分大相径庭，最终成为了随机数学的典型代表， 具备了与微积分分庭抗争的地位.更因其非线性、反因果的非理性特征，显得比经典的数学 分析更具有时代精神.而作为确定性数学典型代表的数学分析对概率论的发展具有很大作用， 因此寻绎数学分析在概率论中的地位，阐述概率论的因果特征是很有意义的. 1.集合论与概率论的公理化体系 集合论是在微积分的营养液中培育出的一颗明珠，而公理集合论使微积分的纷争彻底休 止.众所周知，数学的研究对象一般都是内涵着某种结构的集合，或者是可以通过集合定义 的事物.因此说，集合论可以充当整个现代数学的基础.在这一点上，数学分析和概率论都不 应例外.由于集合论与微积分之间存在着明显的源和流的关系，又由于勒贝格积分有效地建 立了集合论与测度论的联系，进而形成了概率论的公理化体系.因而集合论对概率论的渗透 可视为微积分对概率论的一次较有力的推动. 2.函数、随机变量与分布函数 在函数关系的对应下，随机事件先是被简化为集合，继之被简化为实数，随着样本空间 被简化为数集，概率相应地由集函数约化为实函数.以函数的观点衡量分布函数F(x),F(x) 的性质是十分良好的：单调有界、可积、几乎处处连续、几乎处处可导.因之，数学分析中 有关函数的种种思想方法可以通畅无阻地进入概率论领域.随机变量的数字特征、概率密度 与分布函数的关系、连续型随机变量的计算等等，显然借鉴或搬运了微积分的现成成果. 不难确知，概率论的公理化、体系化的动力源，不仅是集合论和测度论，更重要更基本 的仍然是数学分析的那一套理论.因此，概率论形成体系后的高歌猛进，不妨视作概率论向 着微积分的靠拢与回归. 3.级数在概率论中的特殊作用 200年前，拉格朗日就指出凡是函数都能用幂级数表示的事实.随后傅立叶发现所有函 数都能用傅立叶级数表示，康托尔引入点集拓扑的概念.然而对概率论产生影响的不光是傅 立叶级数，还有等比级数、二项式和式、调和级数等等.作用是方方面面的，有的构成反例， 有的便于计算，有的揭示出了特殊的计算方法等等. 4.雅可比行列式与随机变量函数的分布 德国数学家雅可比在数学领域的杰出贡献较为集中地体现在他引进的“雅可比行列式” 上.应用雅可比行列式可以一揽子解决多维随机变量的函数的概率分布问 题.