分离参数法在恒成立问题中的应用

分离参数法在恒成立问题中的应用 孟建军分离参数法就是把变元和参数通过等价变形分别写在等式或者不等式的两侧，进而只

分离参数法在恒成立问题中的应用 孟建军 分离参数法就是把变元和参数通过等价变形分别写在等式或者不等式的两侧，进而只需研究 不含参数的一个函数就可以解决问题，因为这样避免了令人头疼的分类讨论，所以这种方法十分 受欢迎，今天，我们就简单介绍一下这种方法的使用。 . 例：不等式在时恒成立，求实数的取值范围 讨论的解法会设函数，进而求解函数在时的最小值或值域，再 利用其最小值大于零来求解参数取值范围。但是由于本题的函数是否二次、是二次时的开口方向、 对称轴位置都需要讨论，因此讨论的解法会十分麻烦。 不过我们用分离的办法处理，就显得十分简单。 【解析】因为，故不等式可化为，故此只需 大于右侧函数在时的最大值即可，即成功转化成为一个不含参数的函数的值域问题。我 们设，则由可知，设，容易解得，故当 时不等式在时恒成立。 从上面的例子可以看到，分离参数法避免了讨论，的确拥有强大的优势。但分离是否都这么 简单就能处理问题呢？当然不是，请看下面的例子。 1. 变式：不等式在时恒成立，求实数的取值范围 细心的同学能发现变式和例题相比，只有的范围发生了变化，但在这个小小的变化下，我 们是不是还能象刚才一样直接变形呢？答案是否定的，因为如果的话，根本不能把除到 右侧去。所以，我们还是要适当的加入讨论。 ， 【解析】当时，不等式化为显然对任意实数都能成立。（这代表着不需 对实数进行限制，那么我们就只需让不等式恒成立即可。） 当时，不等式仍可化为，故此只需大于右侧 函数在时的最大值即可，我们继续设，则由可知，设