毕达哥拉斯与勾股定理 数学论文

我们在初二已经学习过勾股定理。在国外，尤其在西方，勾股定理通常被称为毕达哥拉斯定理。这是由于，他们认为最早发现直角三角形具有“”这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯（ Pythag

。，， 我们在初二已经学习过勾股定理在国外尤其在西方勾股定理通常被称为毕达哥拉斯定 “” 。， 理这是由于他们认为最早发现直角三角形具有这一性质并且最先给出严格证明的是 580500 Pythagoras （，～ 古希腊的数学家毕达哥拉斯约公元前前 ）。 年 ，，。 实际上在更早期的人类活动中人们就已经认识到这一定理的某些特例除我国在公 1000 “” 元前 ， 多年前发现勾股定理外据说古埃及人也曾利用勾三股四弦五的法则来确定 M ・ 克莱因教 。，。， 直角但是这一传说引起过许多数学史家的怀疑比如说美国的数学史家 “（ 我们知道他们有拉绳人测 ：。 授曾经指出我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理 345 ， ），，的三段然后用来形成直角三角 量员但所传他们在绳上打结把全长分成长度为 、、 2000 ， 形之说考古学家们发现了几块大约完成于公元前 ” 。 则从未在任何文件上得证实 ， 不过 30 ，，：“ 年左右的古巴比伦的泥板书据专家们考证其中一块上面刻有如下问题 一根长度为 6 ，” 个单位的棍子直立在墙上当其上端滑下 ，？ 个单位时请问其下端离开墙角有多远这是 3:4:5 ；， 一个三边为为三角形的特殊例子专家们还发现在另一块泥板上面刻着一个奇特的 115 ，，：， 数表表中共刻有四列十五行数字这是一个勾股数表最右边一列为从到的序号而 15 、、，。， 左边三列则分别是股勾弦的数值一共记载着组勾股数这说明勾股定理实际上早 。 已进入了人类知识的宝库 、， 无论是古埃及人古巴比伦人还是我们中国人谁最先发现了勾股定理我们的先人在不 、， 同的时期不同的地点发现的这同一性质显然不仅仅是哪一个民族的私有财产而是我们全 。：。 人类的共同财富值得一提的是在发现这一共同性质后的收获却是不完全相同的下面以 “”“” ，： 毕达哥拉斯定理和勾股定理为例做一简单介绍 、 一毕达哥拉期定理 6 ， 生于公元前世纪的毕达哥拉斯 。、 毕达哥拉斯是一个古希腊人的名宇早年曾游历埃及 （），， 巴比伦另一种说法是到过印度等地后来移居意大利半岛南部的克罗托内并在那里组 ── 、、， 织了一个集政治宗教数学于一体的秘密团体毕达哥拉斯学派这个学派非常重视数 ，，， 他们宣称数是宇宙万物的本原研究数学的目的并不在于实用 ，。 学企图用数来解释一切 。； 而是为了探索自然的奥秘他们对数学看法的一个重大贡献是有意识地承认并强调数学上 ，。 的东西如数和图形是思维的抽象同实际事物或实际形象是截然不同的有些原始文明社会 （）， 中的人如埃及人和巴比伦人也知道把数脱离实物来思考但他们对这种思考的抽象性质 ，，。， 所达到的自觉认识程度与毕达哥拉斯学派相比是有相当差距的而且在希腊人之前几 。，，； 何思想是离不开实物的例如埃及人认为直线就是拉紧的绳或田地的一条边而矩形则 。，。 是田地的边界这个学派还有一个特点就是将算术和几何紧密联系起来 ，， 正因为如此毕达哥拉斯学派在他们的探索中发现了既属于算术又属于几何的用三个 2n+1, ：，（ 整数表示直角三角形边长的公式若分别是两直角边则斜边是不过这法则并不能 ） 把所有的整勾股数组表示出来这个学派通过对整勾股数的寻找和研 。， 也正是由于上述原因 “”── ，， 究发现了所谓的不可通约量例如等腰直角三角形斜边与一直角边之比即正方形 ，“ 为此他们把那些能用整数之比表达的比称做 。 对角线与其一边之比不能用整数之比表达可 “” 而把不能这样表达的比称做 ” 。 不可公度比 ，， 公度比意即相比两量可用公共度量单位量尽 l1 ： 像我们今日写成不能公度的证明也是毕达哥拉斯学派给 。 的比便是不可公度比至于与 。：，， 出的这个证明指出若设等腰直角三角形斜边能与一直角边公度那么同一个数将既是 ：， 并设这个 。： 奇数又是偶数证明过程如下设等腰直角三角形斜边与一直角边之比为 β α 必然也 。，。， 比已表达成最小整数之比根据毕达哥拉斯定理有由于为偶数即为偶数所以 α 2n+1 ，（ 是偶数因为任一奇数的平方必是奇数任一奇数可表示为 ，，。 于是这仍是一个奇数 ：，，，， 但是是既约的因此必然不是偶数而是奇数既然是偶数 β β α α =2 故可设 。 于 α γ β β ，，，， 这里是个偶数于是也是偶数但是 。，，。 是因此同时又是个奇数这就产生了矛盾 300 ，（ 关于对毕达哥拉斯定理的证明现在人类保存下来的最早的文字资料是欧几里得公元前