弦振动偏微分方程的求解

弦振动偏微分方程的求解(郑州航空工业管理学院数理系 田硕 450015)摘要：本文列出了不同情况下的弦振动问题的定解方程及其成立条件，给出了不同情况下偏微分方程的求解方法，对于我们的生活和学习有

弦振动偏微分方程的求解 (450015) 郑州航空工业管理学院数理系田硕 摘要 ：本文列出了不同情况下的弦振动问题的定解方程及其成立条件，给出了不同情况下偏 微分方程的求解方法，对于我们的生活和学习有一定的指导意义。 关键词 ：数学物理方程；偏微分方程；弦振动；拉普拉斯变换 Method for solving partial differential equations of string vibration （ Tianshuo Department of mathematics and physics, Zhengzhou Institute of Aeronautics Industry Management, henna zhengzhou 450015 ） Abstract :This article lists the definite solution of the equation of string vibration problems in different situations and the establishment of conditions, given the method for solving partial differential equations under different circumstances, for our lives and learning have acertain significance. Keywords :mathematical physics equations; partial differential equations; vibrating string; Laplace transform 在数学物理方程中，根据常见物理模型，可以建立求解的偏微分方程。如在很多物理 实际问题中要遇到的拉普拉斯方程，泊松方程，波动方程，热传导方程等等。对偏微分方程 求解的讨论，有很重要的意义和运用。对不同的偏微分方程，往往有不同的求解方法，这要 根据方程本身的特点而定。选取合适的方法不仅可以使问题简化，有时候也能体现出方程背 后更深层次的物理意义。理想弦的振动方程就是一个一维波动方程的特例，本文将给出不同 情况下的弦振动偏微分方程，并对它们的求解给予一定的讨论。 一、 无界弦的自由振动问题 [1] 无界弦的自由振动问题既是满足下面条件的偏微分方程： 对于该偏微分方程，我们可以类似常微分方程初始问题的解法，先求出通解，然后把初 始条件代入通解，以确定任意常数，从而求得初始问题的解。 做变量代换，，代入偏微分方程，整理可得： ，得方程的通解为： 再代入初始条件，有： (2): 对式积分 13 将（）式和（）式联立，解之则得：